Proposition de thèse : ​ Approximation numérique d’équilibres de jeux à champ moyen


L’ED SISMI propose le sujet de thèse suivant :

Intitulé du sujet : ​ Approximation numérique d’équilibres de jeux à champ moyen

Ce projet serait sous la direction de Francisco José Silva Alvarez du laboratoire XLIM à l’Université de Limoges

Co-directeurs renseignés : Elisabetta Carlini /

Les financement sont : Une demi-bourse proposée par la région Nouvelle Acquitaine (en projet, non acquis) et une demi-bourse proposée par le laboratoire XLIM (acquis).

Le début de la thèse est prévu pour : 10/2020

Mots clés du sujet : Jeux à champ moyen, analyse numérique, simulations.

Présentation du sujet : La théorie de jeux à champ moyen, introduite en 2006 par J.-M. Lasry et P.-L. Lions permet de décrire les équilibres de certains systèmes complexes de particules (ou “agents”) en interaction stratégique. L’approximation numérique de ces équilibres est un domaine très actif de la recherche actuelle et plusieurs techniques analytiques et probabilistes ont été proposées dans la littérature. Dans cette thèse nous considérerons principalement des techniques déterministes qui consistent à discrétiser un système d’Équations aux Dérivées Partielles (EDPs) qui caractérise les équilibres du système en question. Plus précisément, nous étudierons l’application de méthodes dites semi-Lagrangiennes de discrétisation du système d’EDPs dans plusieurs contextes, notamment dans le cas des systèmes ergodiques et des dynamiques comportant des sauts. Des applications en économie mathématique et en sciences sociales sont envisagées.

Objectifs : Ce projet de thèse s’articule autour de l’approximation numérique de jeux à champ moyen dans le cas suivants:
1.- Le cas ergodique.
Les jeux à champ moyen ergodiques décrivent le comportement de jeux à champ moyen dynamiques lorsque l’horizon de temps tend vers l’infini. Dans ce contexte, on s’intéressera à l’analyse du comportement en temps long des approximations numériques des jeux à champ moyen à horizon fini.
2.- Le cas où la dynamique sous-jacente comporte de sauts.
La méthode semi-Lagrangienne que nous avons proposé dans le passé peut s’interpréter en termes d’une discrétisation par chaînes de Markov de la dynamique sous-jacente. L’objectif ici sera d’étendre cette approche au cas d’une dynamique comportant des sauts Poissoniens.
3.- Le cas où des conditions aux limites sont imposées.
Le but de cette partie de la thèse sera d’implémenter numériquement des conditions aux limites de type Dirichlet, Neumann, ou mixtes Dirichlet-Neumann pour les discrétisations semi-Lagrangiennes explorées aux points précédents afin de résoudre numériquement des jeux à champ moyen issus des exemples concrets.

Description du sujet : L’un des principaux intérêts des méthodes semi-Lagrangiennes pour résoudre des équations d’Hamilton-Jacobi-Bellman est qu’elles ne nécessitent pas de condition de Courant-Friedrichs-Lewy, ce qui permet, en pratique, de considérer des pas de discrétisation en temps qui peuvent être grands par rapport aux pas de discrétisation en espace. En collaboration avec E. Carlini, nous avons étudié dans plusieurs articles l’applicabilité de cette méthode aux jeux à champ moyen. En particulier, nous avons démontré la convergence des solutions du schéma vers la solution du système de jeux à champ moyen dans le cadre classique mais aussi dans certains cas dégénérés.
L’objectif principal de cette thèse est d’examiner l’extension de ces méthodes à plusieurs autres types de systèmes de jeux à champ moyen, notamment ceux issus de problèmes concrets. Ce projet de thèse comporte une partie analytique, qui consiste à étudier la convergence de ces méthodes, ainsi qu’une partie numérique, qui consiste à implémenter efficacement ces approximations dans le cas multidimensionnel.
La thèse sera co-dirigée par E. Carlini, spécialiste en méthodes semi-Lagrangiennes, et, dans ce cadre, des séjours de recherche à l’université La Sapienza, à Rome, d’une durée minimum de trois mois par année de thèse, seront programmés.

Compétences acquises à l’issue de la thèse : – Modélisation analytique et probabiliste de problèmes issus des mathématiques de la décision.
– Modélisation analytique des problèmes issus des mathématiques de la décision
– Calcul scientifique et optimisation. Maîtriser et mettre en oeuvre des méthodes d’approximation numérique de haut niveau.
– Analyser des donnés et mettre en oeuvre des implémentations numériques.

Présentation de l’équipe d’accueil : La thèse sera réalisée au sein de l’équipe MATHIS du laboratoire XLIM à l’Université de Limoges. Cette équipe possède un groupe MOD (Modélisation, Optimisation et Dynamique) fortement reconnue dans la communauté d’optimisation et contrôle au sens large. Ceci est attesté par des nombreuses collaborations scientifiques avec des laboratoires nationaux et internationaux. L’équipe MOD fait partie du groupe thématique SMAI-MODE (http://smai.emath.fr/spip.php?article330) et du GDR-CNRS MOA (http://gdrmoa.math.cnrs.fr/).

Compétences souhaitées pour les candidats : – Excellent candidat issu d’un master de mathématiques appliquées.
– Des solides bases en analyse d’équations aux dérivées partielles et en analyse numérique.
– Expérience de programmation en Matlab.

Pour plus d’informations et pour candidater, merci de contacter :

Date de dépôt : 04/13/2020 à  12 h 39 min




ED SISMI