Proposition de thèse : Equations différentielles p-adiques effectives


Effective computations with p-adic differential equations

L’ED SISMI propose le sujet de thèse suivant :

Intitulé du sujet : Equations différentielles p-adiques effectives

Ce projet serait sous la direction de Moulay Barkatou du laboratoire XLIM à l’Université de Limoges

Co-directeurs renseignés : Tristan Vaccon /

Les financement sont : Non acquis

Le début de la thèse est prévu pour : 10/21

Mots clés du sujet : équations différentielles p-adiques, calcul formel, théorie des nombres

Présentation du sujet : Cette thèse s’attachera à rendre effective la théorie des équations différentielles p-adiques :
_évaluation efficace des solutions, notamment aux points singuliers réguliers ;
_au calcul effectif des rayons de convergence de ces solutions ;
_à la résolution effective de systèmes A-hypergéométriques ;
_à l’étude des solutions de systèmes polynomiaux via les équations différentielles.

Tous ces développements devront être implantés puis intégrés à Sagemath, le logiciel de calcul formel de référence concernant les calculs avec les nombres p-adiques.

Objectifs : On souhaite obtenir les résultats suivants :
_algorithme quasi-linéaire en la précision pour l’évaluation des solutions à une équation différentielle p-adiques ;
_au calcul effectif des rayons de convergence de ces solutions, avec un temps de calcul raisonnable en fonction du degré de l’équation et de la taille des rayons ;
_algorithmes efficaces résolution effective de systèmes A-hypergéométriques ;
_algorithme de suivi de solutions de systèmes polynomiaux via les équations différentielles p-adique pour rendre effective les méthodes de déformation p-adique.

Tous ces développements devront être implantés puis intégrés à Sagemath, le logiciel de calcul formel de référence concernant les calculs avec les nombres p-adiques.

Description du sujet : Le domaine des équations différentielles p-adiques (p-DE) est né il y a environ 60 ans, à travers les travaux fondateurs de Dwork sur les fonctions zétas de variétés algébriques sur les corps finis.
Définis sur des corps p-adiques, les équations différentielles p-adiques fournissent un lien unique entre le monde des mathématiques discrètes (les corps finis) et le monde des mathématiques continues (dérivabilité, analyticité).
Elles ont engendré des applications variées en théorie de Hodge p-adique, en l’étude de cohomologie p-adiques ou en déformation de fonctions zéta p-adiques.

Le dernier point a fourni la matière pour l’algorithme de comptage de points de Lauder pour certaines variétés algébriques sur les corps finis.
Ces dernières années, d’autres applications aux calculs effectifs sur les équations différentielles p-adiques sont apparus : calcul de produits composés ou calcul d’isogénies entre courbes elliptiques.
Néanmoins, toutes ces applications n’étudiaient chacune qu’une famille très précise d’équations différentielles (ordre un, à variable séparable, …).

Cette thèse s’intéresse à une approche générale pour les calculs effectifs liés aux équations différentielles p-adiques.
On s’intéressera notamment :

_à l’évaluation efficace des solutions d’une équation différentielle p-adique, notamment aux points singuliers réguliers ;

_au calcul effectif des rayons de convergence de ces solutions ;

_à la résolution effective de systèmes A-hypergéométriques, dont il est connu qu’ils sont liés au suivi des solutions lors d’une déformation.

L’objectif final sera de suivre de manière effective les racines de systèmes polynomiaux lors d’une déformation, avec pour but d’utiliser ces méthodes pour la résolution effective de systèmes polynomiaux.

Compétences acquises à l’issue de la thèse : Haut niveau en géométrie arithmétique, calcul scientifique et calcul formel.
Haut niveau en programmation Python et Sagemath.

Présentation de l’équipe d’accueil : L’équipe Calcul Formel de l’Université de Limoges est composée de 10 enseignants-chercheurs permanents et de leurs doctorants et post-docs.
Cette équipe couvre un large spectre du domaine du calcul formel : algèbre linéaire, algèbre commutative, équations différentielles, ….

Elle présente la particularité de présenter en son sein des spécialistes de l’étude effective d’équations différentielles réelles ou complexes et des spécialistes de l’algorithmique p-adique, ce qui permettra les conditions idéales pour ce sujet de thèse.

Compétences souhaitées pour les candidats : Connaissances de base :
_en théorie des nombres (corps de nombres, corps p-adiques) ;
_en calcul formel (complexité arithmétique, algorithmes rapides en arithmétique) ;
_en programmation, de préférence Python ou Sagemath.

Pour plus d’informations et pour candidater, merci de contacter :

Date de dépôt : 01/29/2021 à  21 h 37 min




ED SISMI