Proposition de thèse : Une approche des systèmes d’équations intégro-différentielles par l’analyse algébrique effective


An algorithmic algebraic analysis approach to linear systems of ordinary integro-differential equations

L’ED SISMI propose le sujet de thèse suivant :

Intitulé du sujet : Une approche des systèmes d’équations intégro-différentielles par l’analyse algébrique effective

Thesis proposal and information in English : PhD-XLIM-UNILIM-2021-cluzeau-english.pdf

Ce projet serait sous la direction de Thomas Cluzeau du laboratoire XLIM à l’Université de Limoges

Co-directeurs renseignés : Alban Quadrat /

Les financement sont : bourse institutionnelle (non acquise)

Le début de la thèse est prévu pour : 09/2021

Mots clés du sujet : computer algebra, algorithms, integro-differential equations, effective homological algebra, control theory

Présentation du sujet : Systems of ordinary integro-differential equations, namely, systems of equations containing unknown functions of one variable, some of their derivatives and some of their iterative indefinite integrals, naturally appear in mathematical physics and engineering sciences. This class of functional systems is usually studied by operator theory, operational calculus and functional analysis. The main subject of this PhD thesis is to develop an algebraic analysis approach to systems of ordinary integro-differential equations, to implement the algorithms developed in a computer algebra system and to apply this new approach to study the parameter estimation problem in control theory.

Objectifs : The goal of this PhD thesis is to develop an algorithmic algebraic analysis approach to linear systems of ordinary integro-differential equations. Using effective module theory and effective homological algebra, an algorithmic proof of the coherence property of the ring of ordinary integro-differential operators with polynomial coefficients will be developed. This will be used to intrinsically classify and solve linear ordinary integro-differential systems. The different results will be implemented in a dedicated package developed in a computer algebra system such as Maple, Mathematica, Sage or Gap. The results obtained will be used to obtain an algorithmic approach to the algebraic parameter estimation problem.

Description du sujet : Systems of ordinary integro-differential equations, namely, systems of equations containing unknown functions of one variable, some of their derivatives and some of their iterative indefinite integrals, naturally appear in mathematical physics and engineering sciences. This class of functional systems is usually studied by operator theory, operational calculus and functional analysis.
The study of ordinary integro-differential equations with polynomial coefficients has recently been initiated in algebra and computer algebra using rings ordinary integro-differential operators (i.e., noncommutative polynomial rings in the derivative, integral and evaluation operators subjected to the standard identities developed in calculus), non-commutative ring theory and effective algebra (Gröbner basis methods for non-commutative polynomial rings).
Based on the above results, the goal of this PhD thesis is to develop an algorithmic algebraic analysis approach to linear systems of ordinary integro-differential equations. In particular, using effective module theory and effective homological algebra, an algorithmic proof of the coherence property of the ring of ordinary integro-differential operators with polynomial coefficients will be developed (this algebra is known to be coherent but not noetherian). Equivalently, an effective ordinary integro-differential elimination theory will be developed. The coherence result will be at the core of an effective study of module structure of rings of ordinary integro-differential operators. This study will be used to intrinsically classify (e.g., module properties, homological invariants) and solve (e.g., study different classes of solutions) linear ordinary integro-differential systems. To achieve the latter task techniques from algorithms devoted to linear ordinary differential systems will be adapted. The extensions of the above results to the important ring of ordinary integro-differential-delay operators will also be studie. The different results will be implemented in a dedicated package developed in a computer algebra system such as Maple, Mathematica, Sage or Gap.
Finally, the results obtained will be used to obtain an algorithmic approach to the algebraic parameter estimation problem. This problem, important in control theory and signal processing, aims at estimating unknown constant parameters of a linear functional systems corrupted by perturbations and noises. A purely time-domain approach will be developed based on the above study of linear ordinary integro-differential systems. In particular, closed-form solutions for the parameters will be obtained that help for the development of real-time numerical schemes. These results will be added to the package dedicated to the algorithmic study of linear ordinary integro-differential systems.

(Voir la pièce jointe pour les références liées à cette description du sujet de thèse)

Compétences acquises à l’issue de la thèse : Au cours de cette thèse, l’étudiant(e) aura acquis des compétences transverses en algèbre, calcul formel, informatique et automatique (théorie du contrôle). La transversalité des connaissances acquises sera très clairement un plus pour la suite de sa vie professionnelle. Il (Elle) aura de plus appris à rédiger des documents scientifiques et à présenter oralement ses travaux. Le fait de profiter de deux co-encadrants lui montrera différents aspects et lui apprendra aussi à travailler en équipe avec des personnes différentes.

Présentation de l’équipe d’accueil : L’étudiant(e) sera co-encadré par Thomas Cluzeau (MCF-HDR à l’Université de Limoges) et Alban Quadrat (DR Inria Paris).

Il (Elle) sera accueilli(e) par l’équipe Calcul Formel de l’axe MATHIS du laboratoire XLIM. L’équipe Calcul Formel est reconnue internationalement
pour ces compétences sur l’étude algorithmique des équations et systèmes d’équations fonctionnelles. Elle organise en particulier
tous les ans la conférence internationale Functional Equations in LIMoges (FELIM) qui regroupe les meilleurs spécialistes mondiaux du domaine.

Lors de ces visites chez son co-directeur de thèse, l’étudiant(e) sera accueilli par l’équipe Ouragan d’Inria Paris. Cette équipe a pour but le transfert de méthodes de calculs algébriques à certains branches mathématiques (analyse algébrique, géométrie algorithmique, topologie, théorie des nombres) ainsi qu’à certaines applications bien choisies (théorie du contrôle, traitement du signal, robotique).

Compétences souhaitées pour les candidats : Le (la) candidat(e) devra avoir suivi un master de mathématiques ou de mathématiques appliquées plutôt orienté vers l’algèbre et/ou le calcul formel.
Des connaissances (expériences) en programmation dans un logiciel de Calcul Formel seront appréciées.

Pour plus d’informations et pour candidater, merci de contacter :

Date de dépôt : 04/02/2021 à  14 h 27 min




ED SISMI